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新版江苏省南京师大附中高三数学模拟考试试卷及答案

发布时间:

新版-□□新版数学高考复*资料□□-新版

1

1

[精编数 学高考复*资 料]

20xx 高考数学模拟题(2)

南师大《数学之友》

一. 填空题

1. 已知? ? (? ,? ) 且 cos? ? ? 3 ,则 tan(? ? ? ) 的值为 ▲ .

2

5

24

2.

在*面直角坐标系 xOy 中,设 A 是曲线 C1 : y

? ax3 ?1(a ? 0) 与曲线 C2 : x2 ? y2

?

5 2

的一个公共点,若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是

▲.

3.

椭圆

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ,若椭圆上恰好有 6 个不同的点

?F F P P ,使得

1 2 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是



. [精编 数学高考复* 资料]

4. 已知 AB ? 2, AC ? 3, ?BAC ? 60 ,CD ? 2BC, AE ? xAD ? (1? x)AB,x ?(0,1) ,

则 AE 在 AC 上的投影的取值范围是 ▲ .

5. 设函数

f

(

x)

?

??1,?2 ??x ?1,0

? <

x x

? ?

0 2



若函数 g(x) ?

f (x) ? ax , x ?[?2,2] 为偶函数,则

实数 a 的值为 ▲ .

6. 各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的*方与其余各项之和不超过 100,这样的数列

至多有 ▲ 项.

二、解答题
7. 在*面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=64,圆 O1 与圆 O 相交,圆心为 O1(9,0). [精编数学高考复*资料] (1) 经过 O1 作圆 O 的切线,求切线方程;
(2) 过定点 P?6,0? 作动直线 l 与圆 O ,圆 O1 都相交,且直线 l 被圆 O ,圆 O1 截得的弦长分别
为 d , d1 .若 d 与 d1 的比值总等于同一常数 λ,求 λ 的值和圆 O1 的方程.

[精编数学 高考复*资 料]
8. 某港湾的*面示意图如图所示,直线 l1 、l2 是两条海岸线,点 O 为 l1 、
l2 交点, A 位于 O 的正南方向 6 km 处, B 位于 O 的北偏东 60? 方向 10 km 处.
[精编数学 高考复*资 料]
(1) 求集镇 A , B 间的距离; (2) 随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1 , l2 上 分别修建码头 M、N ,开辟水上航线.勘测时发现:以 O 为圆心,3 km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜 船只航行.请确定码头 M、N 的位置,使得 M、N 之
间的直线航线最短.

9. 有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 amk (m, k ?1, 2,3, , n, n ≥3) , 公差为 dm ,并且 a1n , a2n , a3n , , ann 成等差数列.

(1)证明 dm ? ?2 ? m?d1 ? ?m ?1?d2 ;

(2)设

d1

? 1, d2

?

3

,当

n

?

6

时,不等式

1 50

(2n

?

3)2n?1

?

dn

恒成立.

[精编数学 高考复*资 料]
10.已知函数 f (x) ? a(x ? 1 ) ? b ln x ( a, b ? R ), g(x) ? x2 . x
(1) 若 a ? 1,曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1))处的切线与 y 轴垂直,求 b 的值;
(2) 在(1)的条件下,求证 g(x) ? f (x) ? 2 ln 2 ;
(3) 若 b ? 2 ,函数 f (x) 与 g (x) 在其公共点处是否存在公切线.若存在,求出 a 值的个数;
若不存在,说明理由.

理科加试

11. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中, O 是 AC 的中点, E 是线段 D1O 上一点,且

D1E ? ?EO .

D1

(1)若 ? ? 1,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; A1

(2)若*面 CDE ? *面 CD1O ,求 ? 的值.

D

[精编数学 高考复*资 料]

A

C1 B1 E
C OB

[精编数学 高考复*资 料]

[精编数学 高考复*资 料]

12.

如图,椭圆 C1 :

x2 4

?

y2

? 1的离心率为

3 2



x

轴被曲线

C2



y

?

x2

? 1 截得的线段长

等于 C1 的长半轴长.设 C2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A , B ,

直线 MA, MB 分别与 C1 相交于点 D , E .

(1)证明: MD ? ME; [精编数学 高考复*资 料]

(2)



?MAB



?MDE

的面积分别为

S1



S2

,问:是否存在直线

l

,使得

S1 S2

? 17 成立? 32

请说明理由.

参考答案

一. 填空题

1.答案: 1 . 3

解: ? ? ? ? ? , cos? ? 2 cos2 ? ?1,? cos2 ? ? 1 , cos ? ? 5 , sin ? ? 2 5 ,

[精 编数学高考 复*资料]

422

2

25

25

25

tan ? 2

?

2

, tan(? 2

?

? 4

)

?

tan ? ?1 2
1 ? tan ?

?

1 3

.

2

2.答案: 4.

解:设 A?x0 , y0 ?,所以 C1 在 A 处的切线斜率为 f '?x0 ? ? 3ax02 ,

C2 在

A 处的切线斜率为 ?

1 kOA

??

x0 y0

,又 C1 在

A 处的切线与 C2 在

A 处的切线互相垂直,

所以, ???? ?

x0 y0

???? ?3ax02

?

?1 ,即

y0

?

3ax03 .

又 ax03

?

y0

?1,故

y0

?

3 2

.代入 C2

:

x2

?

y2

?

5 2

,得

x0

?

?

1 2





x0

?

?

1 2



y0

?

3 2

代入

y

?

ax3

?1?a

?

0? ,得 a

?

4.

3.答案: (1 , 1 ) ? (1 ,1) . 32 2

解:

?4c ??2c

? ?

2a a

?

2c

?

1 3

?

e

?

1且e

?

1 2

,故离心率范围为

(1 3

,

1 2

)

?

(

1 2

,1)

.

4.答案: ?1,7?.

解:如图, C(3, 0), B(1, 3), D(7, ?2 3) .

AE ? (6x ?1, ?3 3x ? 3) ,

AE cos ?EAC ? AE ? AC ? 3(6x ?1) ? 6x ?1, x ? (0,1)

AC

3

?6x ?1?[1, 7]

5.答案: 1 . [精编数学高 考复*资料] 2

解:由题设,

g

(x)

?

?? ax ?1,?2 ? ??(1? a)x ?1,0

x <

? x

0 ?

2





g(?

x)

?

?ax ?1,?2 ? ? ??(a ?1)x ?1,0

x ?

? ?

0 x

?

2

?

?? (1? a) ??ax ?1.0

x ?

?1,?2 x?2

?

x

<

0,

因为 g(x) 为偶函数,故 g(x) ? g(?x) .

则 ax ?1 ? (1? a)x ?1对于 x ?[?2,2] 恒成立,
从而有 a ?1? a ,得 a ? 1 . 2
6.答案: 8.

a , a , a ,??, a 解:设 1 2 3

是公差为 4 的等差数列,

n

[精 编数学高考复 *资料]

则 a12 ? a2 ? a3 ???? an ?100,



a12

?

?a1

?

4?

?

?a1
2

?

4?n

?

1??

?

?n

?

1?

?

100



? ? ? ? a12 ? ?n ?1?a1 ? 2n2 ? 2n ?100 ? 0 ,

因此, ? ? 7n2 ? 6n ? 401? 0 ,

解得 n1 ? n ? n2 ,

? ? 其中 n1

?

1 7

3?

2816 ? 0 , 8 ? n2 ? 3 ?

2816 ? 9 , 7

所以,自然数 n 的最大值为 8,故这样的数列至多有 8 项.
故答案为:8.

二、解答题

7.解:(1)设切线的斜率为 k ,则由题意可得切线方程为 y ? kx ? 9k ? 0 ,

由圆心 O (0,0) 到切线的距离为圆 O 的半径得: 9k ? 8 ,
1? k2

解得 k ? ?

17 8

. [精编 数学高考复* 资料]

所以切线方程为 y ? 17 x ? 9 17 或 y ? ? 17 x ? 9 17 .

8

8

8

8

(2) 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y ? k(x ? 6) ,即 y ? kx ? 6k ? 0 .

6k

则点 O,O1 到直线 l 的距离分别为 h ?



1? k2

h1=

3k 1? k 2 ,设圆 O1 的半径为 r ,

从而 d ? 2

64

?

36k 2 1? k2

, d1

?2

r

2

?

9k 2 1? k2

.

[精编数学 高考复*资 料]

由dd1 =λ,得 d 2 ? ?2d12 .

所以

64- 36k 2 1? k2

= ?2 (r 2

? 9k 2 1? k2

)

.

整理得: (28 ? ?2r 2 ? 9?2 )k 2 ? ?2r 2 ? 64 ? 0 .

由题意,知上式对于任意实数 k 恒成立,

所以

??28 ? ?2r 2 ? 9?2 ???? ?2r 2 ? 64 ? 0

?

0

.

解得 ? =2(负根舍去), r 2 ? 16 .

综上所述, ? =2.圆 O1 的标准方程为 (x ? 9)2 ? y2 ? 16 .

8. 解:(1) 在 ?ABO中, OA ? 6 , OB ? 10, ?AOB ? 120? ,

AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2?OA?OB? cos120?

? 62 ?10 2 ? 2? 6?10 ? ?? ? 1 ?? ? 196 . ? 2?

? AB ?14 ,即 A , B 间的距离为 14 km .

(2) 依题意,直线 MN 与圆 O 相切,设切点为 C ,连接 OC ,则 OC ? MN . 设 OM ? x , ON ? y , MN ? u ,

在 ?OMN 中, 1 ?OM ?ON ?sin 60? ? 1 ? MN ?OC ,

2

2

即 xy ? 2 3u .

由余弦定理, u2 ? x2 ? y2 ? 2xy cos120 ?

? x2 ? y2 ? xy ? 3xy .

所以, u2 ? 6 3u , u ? 6 3 ,当且仅当 x ? y ? 6 时, u 取得最小值. [ 精编数学高 考复*资料]
答: M、N 建在距离 O 点均为 6km 处航线最短.
[精编数学 高考复*资 料]
9. 证明:(1)因为 a1n , a2n , a3n , , ann 成等差数列,所以 a12 , a22 , a32 ,......, an2 成等差数列.

?(1? d2 ) ? (1? d1) ? (1? d3) ? (1? d2 ) ? ? ? (1? dn ) ? (1? dn?1)

即 d2 ? d1 ? d3 ? d2 ? ? ? dn ? dn?1 ,所以,{dn}成等差数列,公差为 d2 ? d1 ,

所以 dm ? d1 ? (m ?1)(d2 ? d1) ? (2 ? m)d1 ? (m ?1)d2 .

(2)由题知 dn

?

2n

?1, ? 1 50

(2n

? 3)2n?1

?

dn,



(2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) .

即为不等式 (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) ? 0 的解, [精编 数学高考复* 资料]

考虑函数 f (n) ? (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) ,

由于 f (n ?1) ? f (n) ? 2[(2n ?1)2n ? 50] , [精 编数学高考复 *资料]

当 n ? 3 时, f (n ?1) ? f (n) .

即 f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ??,

而 f (6) ? 9(128 ? 50) ?100 ? 602 ? 0 , [精编数学 高考复*资 料]

所以,当 n ≥ 6 时,有 f (n) ? 0 . [精编 数学高考复* 资料]

因此当 n ≥ 6 时, (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) 恒成立,

1 n?1 即 50 (2n ? 3)2 ? d 恒成立. n

[ 精编数学高 考复*资料]

10.

解:(1) a ? 1,

f (x) ? x ? 1 ? bln x , x

f '(x) ? 1?

1 x2

?b x

?

x2 ? bx ?1 , x2

依题意, f ' (1) ? 2 ? b ? 0 .? b ? 2 .

(2)由(1)得 f (x) ? x ? 1 ? 2ln x , x ? (0,??) .
x
要证 g(x) ? f (x) ? 2ln 2 ,只须证 x2 ? x ? 1 ? 2 ln x ? 2 ln 2 ? 0 . x
设 F(x) ? x2 ? x ? 1 ? 2ln x ? 2ln 2 ( x ? 0 ). [精编 数学高考复* 资料] x

F '(x)

?

2x

?1?

1 x2

?

2 x

?

2x3

?

x2 ?1? x2

2x

?

(2x

?1)( x2 x2

? 1)

.

令 F ' (x) ? 0 ,得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, F ' (x) ? 0 ;当 x ? 1 时, F ' (x) ? 0 .

2

2

2

所以,当

x

?

1 2

时,

F ( x)

取极小值,也是最小值,

F (x)min

?

F(1) 2

?

7 4

?

0

.

因此 F(x) ? 0 , g(x) ? f (x) ? 2 ln 2 .

(3)设函数 f (x) 与 g (x) 的图像在其公共点 (x0, y0) 处存在公切线.

f

(x)

?

a(x

?

1) x

?

2 ln

x,

f

' (x)

?

ax2

? 2x x2

?

a

,

g ' ( x)

?

2x

.



f

' (x0 )

?

g' (x0) ,可得到

ax02

? 2x0 x0 2

?

a

?

2x0

,即 2x03

? ax02

? 2x0

?a

?

0,

(2x0

? a)(x02

? 1)

?

0

,得

x0

?

a 2

.

f

(x) 的定义域为 (0, ??) .



a

?

0

时,

x0

?

a 2

?(0, ??)

.函数

f

(x)



g(x)

在其公共点处没有公切线;

当 a ? 0 时,令 f ( a ) ? g( a ) , 1 a2 ? 2 ? 2 ln a ? 1 a2 ,即 a2 ? 8 ? ln( a ) .

2 22

24

8

2

8ln a ? a2 ? 8 ? 8ln 2 ? 0 . 设 h(x) ? 8ln x ? x2 ? 8 ? 8ln 2 ( x ? 0 ), h' (x) ? 8 ? 2x .令 h' (x) ? 0 ,得 x ? 2 .
x 当 x ? (0, 2) 时, h' (x) ? 0 , h( x) 递增;当 x ? (2, ??) 时, h' (x) ? 0 , h( x) 递减.

所以 h(x)max ? h(2) ? 4 ? 0 .

h( 2 ) e

?

8ln

2 e

?

( 2)2 e

?

8

?

8ln

2

?

?4 e

?

0

,在

(0,

2)

上存在唯一

x1

,使得

h( x1 )

?

0



又 h(22 ) ? 8 ln 2 ? 8 ? 0 ,在 (2, ??) 上存在唯一 x2 , h(x2 ) ? 0 . 综上, a ? 0 时,不存在公切线; a ? 0 时,存在公切线,适合题意的 a 值有两个.
[精编数学 高考复*资 料]

理科加试

11. 解:(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底建立如图所示的空间

直角坐标系 D ? xyz ,由题设,E 为 D1O 的中点,则

A(1,0,0) ,O(1 , 1 ,0) ,C(0,1,0) , 22

D1

(0,0,1)



E

(

1 4

,

1 4

,

1 2

)



于是 DE

? (1, 1,1), 442

CD1

?

(0,?1,1)



CO

?

(

1 2

,?

1 2

,0)

,

由 cos ? DE,CD1 ?? DE ?CD1 DE ? CD1

?

3. 6

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

3
.
6

(2)设*面 CD1O 的法向量为 m ? (x1, y1, z1) ,由 m ? CO ? 0 , m ?CD1 ? 0 ,得

?? 1 ?2

x1

?

1 2

y1

?

0,



x1

? 1,得

y1

?

z1

? 1,即 m

?

(1,1,1) .由

D1E

?

?EO



??? y1 ? z1 ? 0,

得 E( ? , ? , 1 ) , DE ? ( ? , ? , 1 ) .

[精编 数学高考复 *资料]

2(1? ?) 2(1? ?) 1? ?

2(1? ?) 2(1? ?) 1? ?

又设*面 CDE 的法向量为 n ? (x2 , y2 , z2 ) ,由 n ? CD ? 0 , n ? DE ? 0 ,得

? ? ?

y2 ? 0, ?x2

??2(1? ?)

?

?y2 2(1? ?)

?

?z2 2(1? ?)

?

0,



x2

?

2

,得

z2

?

??

,即 n

?

(?2,0, ? )

.

CDE ? m?n ? 0 ? ? 2 因为*面

*面 CD1E ,所以

,得

.

[精 编数学高考 复*资料]

12. 解:(1) 由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx .



? ? ?

y y

? ?

kx x2


?1

x2

?

kx

?1

?

0

.

设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,

于是 x1 ? x2 ? k , x1x2 ? ?1.又点 M 的坐标 (0,?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ?1 ? y2 ?1 ? (kx1 ?1)(kx2 ?1)

x1

x2

x1x2

? k 2x1x2 ? k(x1 ? x2 ) ?1 ? ? k 2 ? k 2 ?1 ? ?1.

x1x2

?1

故 MD ? ME.

MA k MA (2) 设直线

的斜率为 ,则直线
1

的方程为 y ? k x ?1 , 1

[精编数学高 考复*资料]



? ? ?

y y

? ?

k1x ?1 解得 x2 ?1

?x

? ?

y

? ?

0

?1

?x ? ?y

? ?

k1 k12

.故点
?1

A

的坐标为

(k1,

k12

?1)

.

又直线

MB 的斜率为 ?

1 k1

,同理可得点

B

的坐标为 (?

1 k1

,

1 k12

?1) .

于是 S1

?

1 2

MA ?

MB

?

1 2

1? k12 ? k1 ?

1?

1 k12

?1 k1

? 1? k12 , 2 k1



?y ? k1x ?1 ??x2 ? 4 y2 ?

4

?

0



(1 ?

4k12

)x2

?

8k1x

?

0

.

[精编数学 高考复*资 料]

解得

? ? ?

x y

? ?

0

?1

???x ? ?y

? ?

8k1 1? 4k12
4k12 ?1

,

故点

D

的坐标为

( 1

8k1 ? 4k12

, 14?k124?k112 ) ,

?? 1? 4k12

又直线 ME 的斜率为 ? 1 ,同理可得点 E 的坐标为 ( ? 8k1 , 4 ? k12 ) ,

k1

4 ? k12 4 ? k12

[精编 数学高考复 *资料]

于是 S2

?

1 2

MD

?

ME

?

32(1? k12 ) ? k1 (1? 4k12 )(k12 ? 4)

.

因此

S1 S2

?

1 64

(4k12

?

4 k12

?17) 由题意知,

S1 S2

?

1 64

(4k12

?

4 k12

?17)

?

17 32

,

解得 k12

? 4或 k12

?

1 .又由点 A , B 的坐标可知, k 4

?

k12

?

1 k12

k1

?

1 k1

=

k1

?

1 k1

,

[精编数学 高考复*资料 ]

所以 k ? ? 3 . 2

故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ? 3 x , y ? ? 3 x .

2

2

当 b ? a 时, C ? {y y ? a2n?1 , n? N*} .




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