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免费下载:甘肃省兰州一中2012届高三9月月考试题数学理

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兰州一中 2011—2012 学年度高三九月月考

数学试题(理科)
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. 1.若

1 + 2i =a+bi(a,b ∈ R,i 是虚数单位) ,则 a-b 等于 1 - 2i
( ) C.- B.-1

A.-7

1 5

D.-

7 5

2. 已知集合 M = {x | x ≤ 1} , P = {x | x > a} ,若 M I P ≠ ? ,则 A. a > 1 ( ) B. a ≥ 1 C. a < 1 D. a ≤ 1

3.函数 y = x 2 ? 1( x ≤ ?1) 的反函数是 ( A. y = ) B. y = ? x + 1( x ≥ 0) D. y =

x + 1( x ≥ ?1)

C. y = ? x + 1( x ≥ ?1) 4.已知 a ∈ R ,则“ a > 2 ”是“ a 2 > 2a ”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

x + 1( x ≥ 0)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.函数 y = a x 与 y = ( ) (a>0,且 a≠1)的图象关于
x

1 a

( A.x 轴对称 C.原点对称

) B.y 轴对称 D.直线 y=x 对称

6. 定义在 R 上的偶函数 f x) ( 在[0, +∞) 上是增函数, f ( ) = 0 ,则不等式 f (log 1 x) > 0 且
8

1 3

的解集是 ( )

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A. ( ,0) C. (0, ) U (2,+∞)

1 2

B. ( 2, +∞ ) D. ( ,1) U ( 2,+∞)

1 2 f ( x + 3?x) ? f ( x ? ?x) 7.已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,则 lim 等于 ?x → 0 ?x
1 2
( A. 4 f ′( x) 8.若曲线 y = x ( ) A.8
? 1 2

) C. f ′( x ) D. ? f ′( x )

B. 3 f ′( x ) 在点 (a, a
? 1 2

) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a =
C.32 D.64

B.16

b ?a ? + 2 9. 已知函数 f ( x ) = ? x x + x ?x +1 ?
A.2 ( ) B.1

( x > 0) ( x ≤ 0)

在 R 上连续,则 a ? b =

C.0

D. ? 1

10.定义方程 f ( x ) = f ′( x ) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x ) 的“新驻点” ,如果函数 g ( x ) = x ,

π h( x) = ln( x + 1) ,? ( x) = cos x ( x ∈ ( , ) )的“新驻点”分别为 α , β , γ ,那么 π 2

α , β , γ 的大小关系是
( ) B. α < γ < β
3

A. α < β < γ

C. γ < α < β

D. β < α < γ

11.若函数 f ( x ) = log a ( x ? ax ) ( a > 0, a ≠ 1) 在区间 (? 范围是 (
A .[ 1 ,1 ) 4 B .[

1 ,0)内单调递增,则 a 的取值 2


3 ,1 ) 4 9 C. ( , +∞) 4

D . 1, (

9 ) 4

?| lg x |, 0 < x ≤ 10 ? 12.已知函数 f ( x ) = ? 1 ,若 a, b, c 互不相等,且 f ( a ) = f (b) = f (c ) ,则 ?? 2 x + 6, x > 10 ? abc 的取值范围是
A. 1,10) (

( ) B. 5,6) (

C. 10,12) (

D. 20,24) (

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
第 2 页 共 9 页

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知全集 U = R,不等式

x+5 ≥ 0 的解集 A,则 CU A = 4? x




?3x , x ≤ 0 1 14.设函数 f ( x) = ? ,则 f ( f ( ? )) = 2 ?log3 x, x > 0
15. lim[(1 ?
n →∞

1 1 1 )(1 ? 2 ) ??? (1 ? 2 )] = 2 2 3 n
2


?x

16.给出下列四个函数:① f ( x ) = x + 1 ;② f ( x ) = ln x ;③ f ( x ) = e ;④ f ( x ) = sin x. 其中满足 “对任意 x1 , x2 ∈ (1, 2)( x1 ≠ x2 ) ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |<| x1 ? x2 | ”的函数序 号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 解关于 x 的不等式 ax ? 1 > a + 1( a > ?1).

18. (本小题满分 12 分) 一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 2 件次品,用户先对产品进行抽检 以决定是否接收.抽检规则是:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子) ,若前 三次没有抽查到次品, 则用户接收这箱产品; 若前三次中一旦抽查到次品就立即停止抽 检,并且用户拒绝接收这箱产品. (1)求这箱产品被用户接收的概率; (2)记抽检的产品件数为 ξ ,求 ξ 的分布列和数期望.

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19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) =

1 + ax 2 (a ≠ 0) 是奇函数,并且函数 f (x) 的图象经过点(1,3) . x+b

(1)求实数 a, b 的值; (2)求函数 f (x ) 的值域.

20. (本小题满分 12 分) 若 1 < x ≤ 2 时,不等式 ax ? 2ax ? 1 < 0 恒成立,求 a 的取值范围.
2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

1 3 x ? x2 . 3 4 3 x + ax 2 + (a + 1) x 的单调递减区间为 B , B ≠ ? , 且 3

(1)求 f (x)的极值; 设函数 g ( x ) = (2) 已知 a ∈ R ,

函数 f ( x ) 的单调递减区间为 A ,若 B ? A ,求 a 的取值范围.

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22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = x ln x . (1)求函数 f ( x )在[t , t + 2](t>0) 上的最小值; (2)证明:对一切 x ∈ (0, +∞ ) ,都有 f ( x ) >

x 2 ? 成立. ex e

参考答案
一、选择题:DCBAB CADAD BC 14. ?

二、填空题:13. {x | x < ?5 或 x ≥ 4}

1 2

15.

1 2

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16. ②③④ 三、解答题: 17.解: ax ? 1 > a + 1 ? ax ? 1 > a + 1 或 ax ? 1 < ?a ? 1 ? ax > a + 2 或

ax < ?a. ……………………………………………………2 分 a+2 当 ? 1 < a < 0 时, x < 或 x > ?1 ,原不等式的解集为 a a+2 (?∞, ) U (?1,+∞). ………………………………………5 分 a
当 a = 0 时,原不等式的解集为 φ . ……………………………7 分 当 a > 0 时, x >

a+2 ,+∞). …………………………………………10 分 a 18.解: (1)设“这箱产品被用户接收”为事件 A ,则 8× 7 × 6 7 P ( A) = = 10 × 9 × 8 15 7 即这箱产品被用户接收的概率为 . ……………5 分 15
(?∞,?1) U (
(2) ξ 的可能取值为 1,2,3. ……………6 分

a+2 , 或 x < ?1 ,原不等式的解集为 a

P(ξ = 1) =

2 1 = , 10 5 8 2 8 P(ξ = 2) = × = , 10 9 45 8 7 28 P(ξ = 3) = × = , 10 9 45
∴ ξ 的概率分布列为:

……………………10 分

ξ

1

2

3

P
∴ Eξ =

1 5

8 45

28 45
…………………12 分

……11 分

1 8 28 109 ×1 + ×2+ ×3 = . 5 45 45 45

19.解: (1)Q 函数 f ( x) =
2

1 + ax 2 是奇函数,则 f ( ? x) = ? f ( x) x+b

1 + a (? x ) 1 + ax 2 ∴ =? ,Q a ≠ 0,∴ ? x + b = ? x ? b,∴ b = 0 …3 分 ? x+b x+b

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又函数 f (x ) 的图像经过点(1,3) ∴ f (1) = 3,∴ , ∴a=2 (2)由(1)知 f ( x) =

1+ a = 3,Q b = 0, 1+ b

…………………………………6 分

1 + 2x 2 1 = 2 x + ( x ≠ 0 ) ……………7 分 x x

当 x > 0 时, 2 x +

1 1 1 ≥ 2 2 x ? = 2 2 , 当且仅当 2 x = , x x x

即x =

2 时取等号……………………………9 分 2

当 x < 0 时, (? 2 x ) +

1 1 1 ≥ 2 (? 2 x ) ? = 2 2 ,∴ 2 x + ≤ ?2 2 ?x ?x x

当且仅当 ( ?2 x) =

1 2 ,即x = ? 时取等号……………11 分 ?x 2

综上可知函数 f (x ) 的值域为 (?∞,?2 2 ] ∪ [ 2 2 ,+∞). ……12 分 20.解:设 f ( x) = ax 2 ? 2ax ? 1 . 当 a = 0 时, ? 1 < 0 恒成立. ……………………………3 分 当 a ≠ 0 时,由 f(x)的对称轴是 x=1,结合二次函数的图象可知 当 a > 0 时,只需 ?

? f (1) ≤ 0, 可得 a>0. …………………7 分 ? f (2) < 0,

当 a < 0 时,只需 f (1) ≤ 0, 可得 ? 1 ≤ a < 0. ………………10 分 综上可得 a ≥ ?1 .………………………………………12 分 21.解: (1) f '( x ) = x 2 ? 2 x = x ( x ? 2) x f ′(x) f (x) (- ∞ ,0) + 单调递增 0 0 极大值 (0,2) - 单调递减 ……2 分 2 0 极小值 (2,+ ∞ ) + 单调递增

……………………………………4 分 所以,f (x)的极大值为 f (0)=0, f (x)的极小值为 f (2)= ? ………………………………………………………………6 分 ( 2 ) 由上题可知, A =(0,2) 由题意可知, g '( x ) = 4 x 2 + 2ax + a + 1 必须有个不等的实数根,其单调递减区间为 两根之间的区间,由于 B ? A ,即 g ( x ) 的两根必须在区间(0,2)内部,由二次函

4
3

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数的图象可知,

?a < 2 ? 2 2或 a > 2 + 2 2 >0 ? ? ? ?8 < a < 0 ? ?0 < ? a < 2 ? ? ?? ? ?1 ≤ a < 2 ? 2 2 4 ? a ≥ ?1 ? g '(0) ≥ 0 ? 17 ? ? a≥? g '(2) ≥ 0 ? ? ? 5 ?
………………………………………………………………12 分 22.解: (Ⅰ) f ′( x ) = ln x + 1 ,…………………………………1 分 当 x ∈ (0, ), f ′( x ) < 0, f ( x ) 单调递减, 当 x ∈ ( , +∞ ), f ′( x ) > 0, f ( x ) 单调递增 …………………2 分

1 e

1 e

1 1 < t + 2 ,即 0 < t < 时, e e 1 1 f ( x) min = f ( ) = ? ; ………………………………4 分 e e 1 1 ② ≤ t < t + 2 ,即 t ≥ 时, f ( x)在 [t , t + 2] 上单调递增, e e
①0 < t <

f ( x) min = f (t ) = t ln t ;
所以

…………………5 分

f ( x) min

1 ? 1 ?? e , 0 < t < e . ? =? ?t ln t , t ≥ 1 ? e ?

…………………………………6 分

(2)由(1)可知 f ( x ) = x ln x ( x ∈ (0, +∞ )) 的最小值是 ? 设 m( x ) =

x 2 1? x ? ( x ∈ (0, +∞)) ,则 m′( x) = x ,易知 x e e e 1 m( x ) max = m(1) = ? ,当且仅当 x = 1 时取到, ………………10 分 e 1 2 从而对一切 x ∈ (0, +∞ ) ,都有 ln x > x ? 成立 …………12 分 e ex

1 1 ,当且仅当 x = 时取到. e e

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